Topologie faible Topologie la plus grossière qui rend continue les Forme linéaires continues (tq \(\lvert l(x)\rvert\leqslant C\lVert x\rVert\)).

• dans un Espace de Hilbert, la Base d'ouverts associée est : \((V_{l,\alpha})_{l\in H^*,\alpha\in{\Bbb R}}\), avec \(V_{l,\alpha}=\{x\in H\mid l(x)\gt \alpha\}\)
    
• la convergence faible est alors définie par \(x_n\rightharpoonup x\iff\forall y\in H,\langle{x_n,y}\rangle {\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} \langle{x,y}\rangle \) (d'après le Théorème de représentation de Riesz)
        
• propriété importante : toute suite qui converge faiblement est bornée
            
• si \(H\) est séparable, alo²²rs on peut extraire de toute suite bornée une sous-suite qui converge faiblement
        
• si \(x_n\rightharpoonup x\), alors \(\lVert x\rVert\) \(\leqslant\varliminf\lVert x_n\rVert\), et si on a égalité, alors on a la convergence forte
        
• la convergence faible et la convergence forte coïncident si on est en dimension finie
• tout convexe
  Fermé est convexe
  Fermé faible
• la topologie faible est métrisable sur les ensembles bornés
    
• conséquence : si \(J\) est une Fonction convexe
  s.c.i.
  Fonction coercive|coercive, et si \(C\)est un convexe
  Fermé, alors \(\inf_CJ\) est atteint

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quel est l'intérêt de la topologie faible ?
Verso: En dimension infinie, les Fermés bornés ne sont pas compacts. En revanche, ils sont faiblement compacts.
Bonus: La topologie faible permet d'extraire des sous-suites faiblement convergentes de suites bornées en dimension finie.
Carte inversée ?:
END

Montrer qu'une suite qui converge fortement converge faiblement.

C'est une application de l'Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Montrer que toute suite qui converge faiblement est bornée.

C'est une application du Théorème de Banach-Steinhauss.

Partir de l'Identité de polarisation.

On en déduit l'inégalité par positivité de la norme.

L'inégalité finale est obtenue par passage à la \(\varliminf\).

Dans le cas d'égalité, il suffit de remonter pour avoir le résultat.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de fermé qui n'est pas faiblement fermé.
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END